miércoles, 29 de mayo de 2013

Polinomios

POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.


Clasificación de un polinomio según su grado

Primer grado

P(x) = 3x + 2
Segundo grado
P(x) = 2x2 + 3x + 2
Tercer grado
P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2

Tipos de polinomios

Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo
Es aquel polinomio en el que sus términos no son del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3

Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3

Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3

Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x − 3 + 2x3

Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7




Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 - 3 = 4
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3         Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) +  Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) +  Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) +  Q(x) = 4x3 − 3x2 + 9x − 3
También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2        Q(x) = 6x3 + 8x +3







P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) −  Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) −  Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3
P(x) −  Q(x) = 3x2 + x − 3



Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 − 3    Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) ·  Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:













Ejercicio
Efectuar de dos modos distintos la multiplicación de los polinomios:
P(x) = 3x4 + 5x3 − 2x + 3 y Q(x) = 2x2 − x + 3
P(x) · Q(x) = (3x4 + 5x3 − 2x + 3) · (2x2 − x + 3) =
= 6x6 − 3x5 + 9x4 + 10x5 − 5x4 + 15x3 −
− 4x3 + 2x2 − 6x + 6x2 − 3x + 9 =
= 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9





División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) :  Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.


A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:



Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2







Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x







Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8






10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.
Regla de Ruffini
Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.
Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:
(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.





5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.





7Repetimos el proceso anterior.



Volvemos a repetir el proceso.




Volvemos a repetir.
8El último número obtenido, 56 , es el resto.
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18


Ejemplo
Dividir por la regla de Ruffini:
(x5 − 32) : (x − 2)





C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16
R = 0

Método de Horner

3    6    7   -18    10    7    -9
1          2      0     -4
0                  3      0    -6
-2                        -5    0    10
      2    3    -5       1       1      1

Q(x): 2x2 + 3x – 5      ;   r(x); x2 + x + 1


Identidades notables

Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2x)2 − 52 = 4x2 − 25
Binomio al cubo
(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3
(x + 3)3 = x3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x · 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x · 32 − 33 =
= 8x 3 − 36x2 + 54x − 27
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 + 2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1=
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x=
= x4− 2x3 + 3x2 − 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 − 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3) · x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.
Calcular por el teorema del resto el resto de la división:
P(x) : Q(x)
P(x)= x4 − 3x2 + 2         Q(x) = x − 3






P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Bibliografia:
http://sobreconceptos.com/polinomio

. Razonamiento matemático - CEPUNT



INTEGRANTES:
Lumixa Rodriguez Loyola
Rodrigo Rosas Bizik
Yandira Cabrejo
Leonardo Juárez
Milagros Lujan
Wilfredo Boy


8 comentarios:

  1. En algebra se llama monomio a la expresión que tiene un solo termino es decir en la que no hay signos + o - . Se llama binomio al que tiene dos terminos ej. 2a+3bx, Trinomio al de tres términos ej. 3ay+2ax-5b al que tiene cuatro se le llama cuatrinomio y a partir del binomio a todos se les dice polinomios eje. 3a+2b-3c+2x-3z es un polinomio. Espero que te haya quedado claro

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  2. El polinomio es una clase de expresión algebraica entera, en la cual existen una o más variables o indeterminadas, que no actúan como divisor, ni están afectadas por operaciones de radicación. Existen distintos tipos de polinomios: monomio (un término), binomio (dos términos), trinomio (tres términos), y cuatrinomio (cuatro términos).

    Un polinomio es una combinación de números (llamados coeficientes) y letras (representan las variables o indeterminadas), unidas por medio de operaciones matemáticas, como suma, resta, multiplicación y división. También las operaciones de potenciación y radicación tienen lugar en los polinomios, pero éstas últimas nunca están afectando a la variable, sino a los coeficientes.

    fuente: http://sobreconceptos.com/polinomio#ixzz2UhtVYi00

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  3. los polinomios son expresiones algebraicas donde estan hechos de constantes, variables, exponentes, y se combina con la suma, resta y multiplicacion, estas reglas hacen que nos haga facil de trabajar con los ejercicios.

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  4. En matemáticas, un polinomio (del griego, πολυς polys 'muchos' y νόμος nómos 'regla, prescripción, distribución', a través del latín polynomius)1 2 3 es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.

    Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.

    Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

    En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.

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  5. Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados usando sumas, restas y multiplicaciones, … pero no divisiones.

    Los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,3,... etc.

    No puede tener un número infinito de términos.

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  6. Los polinomios son una parte importante del Álgebra. Están presentes en todos los contextos científicos y tecnológicos: desde los ordenadores y la informática hasta la carrera espacial. La fórmula que expresa el movimiento de un cuerpo en caída libre viene dada por el siguiente polinomio: La fórmula para calcular el volumen de un cubo en función de la longitud ( l ) de su lado viene dada por: t: tiempo g: gravedad

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  7. ¿Sabes que los polinomios se utilizan en medicina? Si investigas en la web, es probable que encuentres muchos polinomios con nombre propio: Polinomios de Lagrange, Hermite, Newton, Chevichev...

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  8. Por extensión las funciones polinómicas son las funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidas. Son una clase importante de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).

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