Polinomios

POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0

Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.

n un número natural.

x la variable o indeterminada.

an es el coeficiente principal.

ao es el término independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Clasificación de un polinomio según su grado

Primer grado

P(x) = 3x + 2

Segundo grado

P(x) = 2x2 + 3x + 2

Tercer grado

P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2

Tipos de polinomios

Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 - 3

Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x3 + 5x - 3

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

1Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x3

Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3         Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x3 − 3x2 + 9x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2        Q(x) = 6x3 + 8x +3

P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 − 3    Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

Ejercicio

Efectuar de dos modos distintos la multiplicación de los polinomios:

P(x) = 3x4 + 5x3 − 2x + 3 y Q(x) = 2x2 − x + 3

P(x) · Q(x) = (3x4 + 5x3 − 2x + 3) · (2x2 − x + 3) =

= 6x6 − 3x5 + 9x4 + 10x5 − 5x4 + 15x3 −

− 4x3 + 2x2 − 6x + 6x2 − 3x + 9 =

= 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.

Regla de Ruffini

Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:

(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)

1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido, 56 , es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18

Ejemplo

Dividir por la regla de Ruffini:

(x5 − 32) : (x − 2)

C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16

R = 0

Método de Horner

3    6    7   -18    10    7    -9

1          2      0     -4

0                  3      0    -6

-2                        -5    0    10

      2    3    -5       1       1      1

Q(x): 2x^{2 +} 3x – 5      ;   r(x); x² + x + 1

Identidades notables

Binomio al cuadrado

(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2

(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 32 = x 2 + 6 x + 9

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo

(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3

(x + 3)3 = x3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x · 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27

(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x · 32 − 33 =

= 8x 3 − 36x2 + 54x − 27

Trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 + 2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1=

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x=

= x4− 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 − 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3) · x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6

Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Calcular por el teorema del resto el resto de la división:

P(x) : Q(x)

P(x)= x4 − 3x2 + 2         Q(x) = x − 3

P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Bibliografia:
http://sobreconceptos.com/polinomio

. http://www.vitutor.com

. Razonamiento matemático - CEPUNT

INTEGRANTES:

Lumixa Rodriguez Loyola

Rodrigo Rosas Bizik

Yandira Cabrejo

Leonardo Juárez

Milagros Lujan

Wilfredo Boy

http://youtu.be/oJ_qJRGPMBM

Magnitudes Proporcionales

Magnitudes proporcionales

1. RAZONES Y PROPORCIONES

A. Razón: Es el resultado de comparar dos cantidades

a.    Razón  Aritmética:

Es la comparación entre dos cantidades por medio de una diferencia.

a – b = r

                                                    a: antecedente

                                                    b: consecuencia

                                         r: valor de la razón

b.    Razón Geométrica :

Es la comparación entre dos cantidades por medio de un conciente.

                                                                       

                                          a: antecedente

     a/b = r                          b: consecuente

                                          r: valor de la razón

B. Proporción: Es la igualdad de dos razones.

a.    Proporción aritmética:

a – b = c – d

                                                    b y c: medios

                                                     a y d: extremos

·         Proporción aritmética discreta: es aquélla que tiene sus cuatro términos diferentes o sus medios no son iguales.

15 – 3 = 17 – 5

3 - 4 = 5 – 6

6 – 2 = 8 – 4

·         Proporción aritmética continúa: es aquélla que tiene sus términos medios iguales.

5 – 4 = 4 – 3

4 – 6 = 6 – 8

9     – 15 = 15 – 21

b.    Proporción geométrica:

Se define como la igualdad entre dos razones geométricas o cocientes. En una proporción geométrica se llaman extremos al primero y cuarto términos, y medios al segundo y tercer términos.

También reciben el nombre de antecedentes al primero y tercer términos, y consecuentes al segundo y cuarto términos.

15 – 3 = 17 – 5 3 y 5 son medios 15 y 5 son extremos

·         Proporción geométrica discreta o no continua: es aquélla que tiene sus cuatro términos diferentes o sus medios no son iguales.

11 : 6 :: 13 : 8

2 :3 :: 4 : 5

12  10 :: 15 : 13

·         Proporción geométrica continua: es aquélla que tiene sus términos medios iguales.

9 : 15 :: 15 : 25

3 : 9 :: 9 : 27

8 : 4 :: 4 :12

2. MAGNITUD

Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser expresado en forma cuantitativa.

Ejemplo:

La velocidad, el tiempo, la longitud, el volumen, la superficie, el peso, la estatura, etc.

A.  Magnitudes proporcionales:

Dadas dos  magnitudes; podemos afirmar que son proporcionales, si al variar el valor de una magnitud, la otra magnitud variará en la misma proporción.

a.    Magnitudes directamente proporcionales:

Decimos, que dos magnitudes son directamente proporcionales; si al aumentar o disminuir el valor de una  de ellas, la otra magnitud también aumentará o disminuirá en la misma proporción.

Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:

Magnitud 1ª	a	b	c	d	...
Magnitud 2ª	a’	b’	c’	d’	...

son directamente proporcionales si se cumple que:

a/a´ = b/b´ = c/c´ = …..

b.    Magnitudes inversamente proporcional

Dos magnitudes A y B son inversamente proporcional (IP) cuando el producto entre sus valores correspondientes es una constante.

Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:

Magnitud 1ª	a	b	c	...
Magnitud 2ª	a’	b’	c’	...

son inversamente proporcionales si se verifica que:

a.a’ = b.b’ = c.c’ = …

3. ENGRANAJES:
Son ruedas en las cuales se han labrado dientes, los cuales trasmiten el movimiento por rodadura y por deslizamiento del uno sobre el otro, cuando se traban y engranan entre sí.
Se les utiliza para mantener constante el coeficiente de trasmisión.
El piñón es la menor rueda de dos, dentadas en un engranaje.
Dos ruedas dentadas como A y B que tienen el mismo número de dientes, giran con la misma velocidad.

Dos o más engranajes unidos o engranados de esta forma se denominan tren de engranaje.

Explicación del tren de engranaje

En e! diagrama podemos ver un tren de engranaje simple en el que A es el engranaje motriz, y B el engranaje arrastrado.

Cuando A da una vuelta completa, sus 15 dientes pasan el punto X del diagrama. Como los engranajes se engranan (y no se pueden desprender), 15 dientes del engranaje arrastrado también pasan el punto X. Por tanto, por cada vuelta completa del engranaje motriz, el engranaje arrastrado solamente girará un cuarto de vuelta.

Ahora bien, como el engranaje arrastrado solamente gira un cuarto de vuelta por cada vuelta completa del engranaje motriz, el engranaje arrastrado solamente girará a un cuarto de la velocidad del engranaje motriz.

Por tanto, la relación de velocidades del sistema anterior (y relación de transmisión) es de 4: 1.

Cálculo de la relación de transmisión (tren de engranaje simple).

Para calcular la relación de transmisión de un tren de engranaje simple, usa la siguiente ecuación:

  

·         Relación de transmisión:

Número de dientes del engranaje arrastrado/ número de dientes del engranaje motriz

Para el ejemplo anterior:

Relación de transmisión: 60/15 = 4/1     4:1

La relación entre las velocidades de giro de las ruedas depende del nº de dientes de cada una y se expresa mediante las siguientes ecuaciones:

 V1 n1 = V2 n2

V1/V2 = n2/n1

Tren de engranajes compuesto.

En el diagrama puede verse el tren de engranajes compuesto. Observa que se usan cuatro engranajes y que los engranajes B y C están sujetos al mismo eje.

Cuando el engranaje motriz A da una vuelta completa, el engranaje B girará un cuarto de una vuelta. Ahora bien, como el engranaje C está sujeto al mismo eje que el engranaje B, también da un cuarto de vuelta. Por tanto, el engranaje D solamente girará 1/4 de 1/4 de una vuelta, es decir, 1/16 de una vuelta. Por tanto, la relación de transmisión de este tren de engranajes compuesto es de 16.

4. REPARTO PROPORCIONAL

En un procedimiento de cálculo que permite repartir una cierta cantidad, en partes proporcionales a otras.

Se dice que el reparto es simple, cuando las cantidades repartidas, son proporcionales a números simples.

Ahora; dependiendo de la relación que exista entre la cantidad a repartir,  y las partes proporcionales; el reparto proporcional puede ser:

• Reparto proporcional simple directo.
• Reparto proporcional simple inverso.

Cuando las partes repartidas, son proporcionales al producto de varios números, recibe el nombre de reparto proporcional compuesto; que más adelante lo veremos en detalle.

A.  Reparto proporcional simple directo

El reparto es  directo, cuando a mayor sea el número proporcional; más le corresponde al beneficiario o viceversa.

Repartir el número “N”, entre las partes proporcionales: a, b, y c

Donde: “a”, “b”, y” c”  se le conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”, “y”,” z”;  la cantidad buscada,  que le corresponde a cada número proporcional.

Ejemplo:

Si un kilo de pistaches cuesta 120, pesos y usted quiere comprar 46 pesos, ¿cuánto le deben despachar?

Usted ya conoce una razón. Por 120 pesos recibe 1000 gramos (o sea un kilo).

De la segunda razón usted conoce solamente un dato: que quiere 46 pesos.

Esto se escribe así:
120         46
------- X  ----
1000        ?

Para resolverlo, se multiplica 1000 X 46 y se divide entre 120.

1000 X 46
--------------    
      120                                   El resultado es 383.33.

B.  Reparto proporcional simple inverso:

El reparto proporcional es inverso, cuando a medida que es mayor el número proporcional; menor le corresponde en el reparto, y viceversa.

Repartir el número “N” entre las partes proporcionales: “a”, “b”, y “c”

       

Ejemplo:

¿Si 6 alumnos realizan un trabajo en 12 hrs.¿Cuanto se demorarian si fueran 3 alumnos mas?

Se dispone así:

6 alumnos.............12 horas
9 alumnos..............X horas

Cuantos MAS alumnos, MENOS tiempo tardarán. Proporcionalidad inversa. Luego:

12/X = 9/6 (inversa)

De donde:

X = (12)(6)/9

X = 8
Respuesta.- Demorarian 8 horas

 3. REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO

Cuando las partes repartidas, son proporcionales al producto de varios números. Estas; a su vez, puede ser:

• Reparto proporcional compuesto directo.
• Reparto proporcional compuesto inverso.
• Reparto proporcional compuesto mixto.

A.  Reparto proporcional compuesto directo:

El reparto proporcional es directo, cuando a mayor sea  el número proporcional, mayor será el beneficio, y  viceversa. Y es compuesto;  cuando el número proporcional, proviene de un producto de factores.

Repartir “N” entre las partes proporcionales “a”, “b”, “c”, y  a los números “a₁”, “b₁”, “c₁”, respectivamente; equivale a repartir, el número “N” entre las partes directamente proporcionales a: “a . a₁”, “b . b₁”, “c . c₁” respectivamente.

Donde: “a”, “b”, “c”, “a₁”, “b₁”, “c₁” , se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Procedimiento:

• Primero obtenemos los números proporcionales del reparto;  multiplicando los factores,   de los números proporcionales parciales correspondientes.
• Luego  estaremos en el caso del reparto proporcional simple directo; con lo cual,  se puede resolver con cualquiera de los 2 métodos anteriores.
•  

Ejemplo:

Repartir 364 euros, en tres partes directamente proporcionales a 3,2 y 5, y simultáneamente a 4,7, y 6.

• Primero  calculamos los números proporcionales del reparto compuesto, multiplicando los factores de los números proporcionales parciales, de la siguiente manera:

S = 6 + 7 + 15 = 28

    

•  Determinamos la constante de proporcionalidad.

·     

•       Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades corresponden a cada uno.

Comprobación: 72 euros + 54 euros + 18 euros = 144 euros.

B. 

Reparto proporcional inverso

El reparto proporcional es inverso, cuando a medida que es mayor el número proporcional: menor le corresponde en el reparto, y viceversa. Y es compuesto cuando los números proporcionales provienen de un producto de factores.

Como ya hemos visto anteriormente, los problemas de reparto proporcional inverso se transforman en problemas de reparto proporcional directo, invirtiendo cada número proporcional.  Es decir:

Donde: “a”, “b”, “c”, “a₁”, “b₁”, “c₁”, se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Procedimiento:

·         Lo primero que se hace, es convertir el reparto proporcional compuesto inverso, en reparto proporcional compuesto directo, de la siguiente manera:

• Se invierte cada uno de los números proporcionales. Esto último se consigue dividiendo uno entre el número proporcional.
• Cuando ya se han invertido todos los números proporcionales. Luego, obtenemos los números proporcionales del reparto compuesto; es decir, multiplicando los factores, de los números proporcionales parciales correspondientes.
• Luego, damos común denominador a las inversas de los números proporcionales del reparto compuesto.
•  Se procede a resolver como si  fuera un reparto proporcional compuesto directo, por cualquiera de los dos métodos anteriores.

Ejemplo:

Repartir  144 euros, en partes inversamente proporcionales a los números  3, 2, y 4; y también a  2, 4, y 6 respectivamente.

Solución:

·         Luego, multiplicamos los factores de los números proporcionales parciales, para obtener los números proporcionales del reparto compuesto directo.

·         Luego, damos común denominador a los números: 6, 8 y 24. Con lo cual, se multiplicará a cada número proporcional, de la siguiente manera:

• Sumamos los números proporcionales:

S = 4 + 3 + 1 = 8

• Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

Comprobación: 72 euros + 54 euros + 18 euros = 144 euros.

5. REGLA DE TRES PORCENTAJES

Es un procedimiento aritmético que consiste en hallar un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos o más magnitudes; las que guardan una relación proporcional.

A.          Regla de tres simple

Resulta de comparar dos magnitudes así tenemos:

a.    Regla de tres simple inversamente proporcional

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:

A más ----------- menos.

A menos -------- más.

 b. Regla de tres simple directamente proporcional:

La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:

A más ------------------  más.

A menos  -------------- menos

Ejemplo donde utilizaremos ambos casos:

1° caso

2° caso 

 

A.  Regla de tres compuesta

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.

Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:

a.  Regla de tres compuesta directa

Ejemplo:

Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una     cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

A más grifos, más euros --------directa

A mas horas, mas euros --------directa

  9        10        20                                                                      90           20
----X ----  X -----                                                                   ------  =  -----
 15      12        X                                                                       180          X

20 X 180
------------  =40 €
      90      

 b. Regla de tres compuestas inversas

Ejemplo:

5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro    en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

A menos obreros, más días ---------- Inversa.

A más horas, menos días ------------- Inversa.

5 obreros --------- 6 horas -------- 2 días

4 obreros --------- 7 horas --------  x días

4         7        2                                                    28         2
--- X ---  X ---                                                   ----  =  ---
5         6        X                                                    30        X

X = 2.14 días 

c. Regla de tres compuesta mixta

Ejemplo:

Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?

A más obreros, menos día ---------Inversa.

 A más horas, menos días -----------Inversa.

 A más metros, más días ------------Directa.

 8 obreros --------- 9 días -------- 6 horas ------- 30 m

     10 obreros -------- x días -------- 8 horas ------- 50 m

 10        8         30         9                                                                     9
---- X  ---  X ----- =   ---                                                           1  =  ---
  8         6         50         X                                                                    X

X = 9

BIBLIOGRAFÍA

1.               polya.dme.umich.mx/Carlos/arqui/razon/RAZONES.htm‎

2.               espanol.answers.yahoo.com › ... › Ciencias y Matemáticas › Física‎

3.              platea.pntic.mec.es/.../ayudas/magnitudes/magnitudes_proporcionales.ht...

4.               matematicasvirtuales.com/blog/reparto-proporcional-compuesto/‎

5.               http://salonhogar.net/matem/Regla3/16regladetres.html

6.               Libro de cepunt.

INTEGRANTES:

Lumixa Rodriguez Loyola

Rodrigo Rosas Bizik

Yandira Cabrejo

Leonardo Juárez

Milagros Lujan

Wilfredo Boy