POLINOMIOS
Un polinomio es una
expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an -
1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
Siendo an, an -1 ...
a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de
un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra
elevada la variable x.
Clasificación de un polinomio según su
grado
Primer grado
P(x) = 3x + 2
Segundo grado
P(x) = 2x2 + 3x + 2
Tercer grado
P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2
Tipos de polinomios
Polinomio nulo
Es aquel polinomio que tiene
todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el que
todos sus términos o monomios son del mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo
Es aquel polinomio en el que
sus términos no son del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene
todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor
grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si
los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor
grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales
si verifican:
1Los dos polinomios tienen
el mismo grado.
2Los coeficientes de los
términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x − 3 + 2x3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son
semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Valor numérico de un polinomio
Es el resultado que obtenemos al
sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x
= 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5
- 3 = 4
Para sumar dos polinomios se suman los
coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios,
si no lo están.
Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x −
3) + (2x3 − 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo
grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 +
2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3 −
3x2 + 9x − 3
También podemos sumar polinomios
escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en
columnas y se puedan sumar.
P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 +
4x2 + 15x + 5
Resta de polinomios
La resta de
polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3)
− (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3
− 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 −
2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un
polinomio
Es otro polinomio que tiene
de grado el mismo del polinomio y
como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio
por el número.
3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) =
6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un
polinomio
Se multiplica el monomio por
todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x −
2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3
Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer
polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) ·
(2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 −
6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 +
9x2 − 12x
Se obtiene
otro polinomio cuyo grado es la suma de
los grados de los polinomios que se multiplican.
Ejercicio
Efectuar de dos modos distintos
la multiplicación de los polinomios:
P(x) = 3x4 + 5x3 − 2x + 3 y
Q(x) = 2x2 − x + 3
P(x) · Q(x) = (3x4 + 5x3 −
2x + 3) · (2x2 − x + 3) =
= 6x6 − 3x5 + 9x4 + 10x5 −
5x4 + 15x3 −
− 4x3 + 2x2 − 6x +
6x2 − 3x + 9 =
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8
Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo.
Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los
lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor
dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del
dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del
polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio
dividendo:
Volvemos a dividir el primer
monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo
multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
Procedemos igual que antes.
Volvemos a hacer las mismas
operaciones.
10x − 16 es el resto, porque
su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede
continuar dividiendo.
x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.
Regla de Ruffini
Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un
matemático italiano, que estableció un método más breve para hacer
la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la
forma x — a.
Para explicar los pasos a aplicar en
la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:
(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)
1Si el polinomio no es completo, lo
completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del
dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el
opuesto del término independiente del divisor.
Volvemos a repetir.
8El último número
obtenido, 56 , es el resto.
9El cociente es un polinomio de grado
inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos
obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18
Ejemplo
Dividir por la regla de Ruffini:
C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 +
8x + 16
R = 0
Método de Horner
3 6
7 -18 10
7 -9
1 2
0 -4
0 3 0
-6
-2 -5 0 10
2 3 -5
1 1 1
Q(x): 2x2 + 3x – 5 ;
r(x); x2 + x + 1
Identidades
notables
Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b +
b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x
·3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x ·
3 + 32 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2x)2 −
52 = 4x2 − 25
Binomio al cubo
(a ± b)3 = a3 ± 3 ·
a2 · b + 3 · a · b2 ± b3
(x + 3)3 = x3 + 3 ·
x2 · 3 + 3 · x · 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
(2x − 3)3 =
(2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x · 32 − 33 =
= 8x 3 − 36x2 + 54x −
27
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 +
b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 +
2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 +
2 · (−x) · 1=
= x4 + x2 + 1 − 2x3 +
2x2 − 2x=
= x4− 2x3 + 3x2 − 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) ·
(a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 −
6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) ·
(a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 +
6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un
término común
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x
+ ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + 5x + 6
Teorema del resto
El resto de la división de un
polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de
dicho polinomio para el valor: x = a.
Calcular por el teorema del resto el
resto de la división:
P(x) : Q(x)
P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81
− 27 + 2 = 56
Bibliografia:
http://sobreconceptos.com/polinomio
Bibliografia:
http://sobreconceptos.com/polinomio
. Razonamiento matemático - CEPUNT
INTEGRANTES:
Lumixa Rodriguez Loyola
Rodrigo Rosas Bizik
Yandira Cabrejo
Leonardo Juárez
Milagros Lujan
Wilfredo Boy